基本數列是等差數列和等比數列

    一、等差數列

    一個等差數列由兩個因素確定：首項a1和公差d.

    得知以下任何一項，就可以確定一個等差數列（即求出數列的通項公式）：

    1、首項a1和公差d

    2、數列前n項和s(n),因為s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)

    3、任意兩項a(n)和a(m)，n,m為已知數

    等差數列的性質：

    1、前N項和為N的二次函數（d不為0時）

    2、a(m)-a(n)=(m-n)*d

    3、正整數m、n、p為等差數列時，a(m)、a(n)、a(p)也是等差數列

    例題1：已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25)

    解： a(9)-a(5)=4*d=16-8=8

    a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40

    a(25)=48

    例題2：已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12)

    解：a(6)、a(9)、a(12)成等差數列

    a(12)-a(9)=a(9)-a(6)

    a(12)=2*a(9)-a(6)=25

    二、等比數列

    一個等比數列由兩個因素確定：首項a1和公差d.

    得知以下任何一項，就可以確定一個等比數列（即求出數列的通項公式）：

    1、首項a1和公比r

    2、數列前n項和s(n),因為s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)

    3、任意兩項a(n)和a(m)，n,m為已知數

    等比數列的性質：

    1、a(m)/a(n)=r^(m-n)

    2、正整數m、n、p為等差數列時，a(m)、a(n)、a(p)是等比數列

    3、等比數列的連續m項和也是等比數列

    即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)構成的數列是等比數列。

    三、數列的前N項和與逐項差

    1、如果數列的通項公式是關于N的多項式，最高次數為P，則數列的前N項和是關于N的多項式，最高次數為P+1。

    （這與積分很相似）

    2、逐項差就是數列相鄰兩項的差組成的數列。

    如果數列的通項公式是關于N的多項式，最高次數為P，則數列的逐項差的通項公式是關于N的多項式，最高次數為P-1。

    （這與微分很相似）

    例子：

    1，16，81，256，625，1296 （a(n)=n^4)

    15,65,175,369,671

    50,110,194,302

    60,84,108

    24,24

    從上例看出，四次數列經過四次逐項差后變成常數數列。

    等比數列的逐項差還是等比數列

    四、已知數列通項公式A（N），求數列的前N項和S（N）。

    這個問題等價于求S（N）的通項公式，而S（N）=S（N-1）+A（N），這就成為遞推數列的問題。

    解法是尋找一個數列B（N），

    使S（N）+B（N）=S（N-1）+B（N-1）

    從而S（N）=A（1）+B（1）-B（N）

    猜想B（N）的方法：把A（N）當作函數求積分，對得出的函數形式設待定系數，利用B（N）-B（N-1）=-A（N）求出待定系數。

    例題1：求S（N）=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N

    解：S（N）

=S（N-1）+N*2^N

    N*2^N積分得（N*LN2-1）*2^N/(LN2)^2

    因此設B（N）=（PN+Q)*2^N

    則 （PN+Q)*2^N-[P（N-1）+Q)*2^（N-1）=-N*2^N

    （P*N+P+Q）/2*2^N=-N*2^N

    因為上式是恒等式，所以P=-2，Q=2

    B（N）=（-2N+2)*2^N

    A（1）=2，B（1）=0

    因此：S（N）=A（1）+B（1）-B（N）=（2N-2）*2^N+2

    例題2：A（N）=N*（N+1）*（N+2），求S（N）

    解法1：S（N）為N的四次多項式，

    設：S（N）=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E

    利用S（N）-S（N-1）=N*（N+1）*（N+2）

    解出A、B、C、D、E

    解法2：

    S（N）/3！=C（3，3）+C（4，3）+...C（N+2，3）=C（N+3，4）

    S（N）=N*（N+1）*（N+2）*（N+3）/4